![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Корень Бринга
Узнал через посредство Саши Венедюхина про корень Бринга — такую вот даже не то что абстракцию, но формальную сущность, с помощью которой решения произвольных уравнений пятой степени становятся реальными.
Почему-то это решение мне кажется читерским. В смысле, я привык к мысли о неразрешимости уравнений пятой и выше степеней в общем виде радикалах и предполагал, что альтернативы нет. А тут даже не дополнение поля происходит, а просто syntax sugar для того, чтобы возможность выразить решение появилась — но неуютно. Причём это, комплексные числа в своё время в голову как информобъекты как родные легли. Загадка, в общем.
При том, что точные формулы для уравнений высоких степеней, в общем-то нафиг никому не сдались в реальной жизни — возникают проблемы с устойчивостью решений при малом шевелении, а численные методы подойдут для большинства практических целей.
Update: Пока катался, до меня дошло, что не так с корнями Бринга. С обычными радикалами или комплексными числами много чего можно сделать. Можно умножить на константу и внести константу под корень. Можно домножить на сопряжённое выражение и от иррациональности избавиться. С корнями Бринга такого сделать не получится. Неочевидно даже, как связаны Br(a) и Br(-a), к примеру. Получаются символы без очевидной семантики, которые, тем не менее, можно вычислить. Из привычной массовой математики таковыми являются разве что π или e.
Почему-то это решение мне кажется читерским. В смысле, я привык к мысли о неразрешимости уравнений пятой и выше степеней в общем виде радикалах и предполагал, что альтернативы нет. А тут даже не дополнение поля происходит, а просто syntax sugar для того, чтобы возможность выразить решение появилась — но неуютно. Причём это, комплексные числа в своё время в голову как информобъекты как родные легли. Загадка, в общем.
При том, что точные формулы для уравнений высоких степеней, в общем-то нафиг никому не сдались в реальной жизни — возникают проблемы с устойчивостью решений при малом шевелении, а численные методы подойдут для большинства практических целей.
Update: Пока катался, до меня дошло, что не так с корнями Бринга. С обычными радикалами или комплексными числами много чего можно сделать. Можно умножить на константу и внести константу под корень. Можно домножить на сопряжённое выражение и от иррациональности избавиться. С корнями Бринга такого сделать не получится. Неочевидно даже, как связаны Br(a) и Br(-a), к примеру. Получаются символы без очевидной семантики, которые, тем не менее, можно вычислить. Из привычной массовой математики таковыми являются разве что π или e.
no subject
Какая прелесть. Напомнило мне школьное детство. С этими радикалами под радикалами и с подстановками.
no subject
no subject
Против решения уравнений в значениях тригонометрических функций возражений нет?
Или вообще в каких-нибудь неэлементарных.
Тут ровно та же идея, могли бы вообще ввести функцию, возвращающую корень произвольного уравнения пятой степени, но ограничились корнем функций вида x^5+x+a.
При решении квадратных уравнений их корни ровно точно также выражаются через корни многочленов из семейства x^2+a.
UPD. Ну и от циркуля и линейки происходит решение в квадратных радикалах.
А уже радикалы кубические циркулем и линейкой не строятся.
И уравнений пятой степени, у которых только часть корней выражается в радикалах, тоже не бывает. Либо все корни выражаются, либо ни один не выражается.
Да и сетка для тенниса нафиг никому не сдалась, в футбол и кучу других игр играют без нее. Выражение чего-то через что-то такая же игра, как и теннис. А численные методы - другая игра, ее "народность" ровно такая же, как популярность футбола против тенниса. А "совсем прикладники" часто и вовсе без математики обходятся.
no subject
no subject
А всякие прочие симметрии и свойства - они у одних функций есть, а у других нет. Например sqrt(x+y) никак не упрощается, а sin(x+y) разворачивается по известной тригонометрической формуле.
При этом sqrt(xy) - понятно что, а sin(xy) - неупрощаемый тупик [и вообще, по большому счету, бессмыслица, которая нигде, кроме как в задачнике, возникнуть не может, если оба сомножителя иррациональные].
Так что у всех свои достоинства и свои недостатки.
Да и просто забавно говорить о том, что 640K хватит для всех [== почти все нужды закрываются численными методами] тем людям, которые по долгу службы связаны с криптографией и занимаются точным счетом в конечных полях.
no subject
Ну, насколько вообще там можно говорить о "малости" в том смысле, как о ней говорят в матане и вычметодах
no subject
no subject
А вот sin(xy), когда оба числа иррациональные - бессмыслица. Нигде такое не нужно, ни в рядах Фурье, ни в физике, ни в тригонометрии.
no subject
Особенно учитывая, что она измеряется в радианах в секунду, а всякое инженерное норовят делать с целым количеством оборотов в секунду. Взять хотя бы банальную формулу моментальной силы тока, текущей через резистор сопротивлением R, воткнутый в стандартную розетку на 220 Вольт и 50 Герц.
no subject
И радианы/сек * сек - это радианы, от которых спокойно можно взять синус.
А когда sin(xy), то, по умолчанию, обе переменные равноправны, так что размерность получится радиан^2, что нафиг никому не нужно: телесные углы именно в них и измеряются но синусов от телесных углов нет, слишком они разные.
А если размерность радиан, тогда размерность переменных sqrt(радиан), что вообще дичь.
И не надо говорить, что радиан безразмерен. Ну да, это так. Но в приложениях это либо углы, либо функции кратного аргумента.
no subject
no subject
Да и начали приводить примеры из физики вы :)
no subject
an = 1/(n5 × cos(n))
? Прошу прощения за кривую нотацию, надеюсь, смысл понятен. Да, там именно косинус от целого числа (в радианах), так и задумано. Задачка сильно тоньше, чем кажется на первый взгляд. Дальше подсказывать или вы и так знаете?
... Отдел по борьбе с организованной реальностью ...
no subject
no subject
Ну и биллинг - это примитив. А если нужно что-то хоть чуть более содержательное, хотя бы решение больших линейных систем [реально возникающее на практике почти всюду] - то уже придется применять нетривиальные усилия для борьбы с лавинообразным накоплением вычислительной погрешности. Как бальзам на душу скажу, что эти усилия являются неотъемлемой частью численных методов, а наивные численные методы заканчиваются примерно на "задачах" вроде биллинга.
no subject
no subject
Хотя и не знаю, где у вас заканчивается понимание и начинается непонимание. Радикал Бринга - новость; понимания, где могли бы быть актуальны "решения в радикалах" тоже, по вашим словам, нет.
А еще бывает сарказм и ирония, границы которых тоже не всегда различимы :)
no subject
no subject
no subject
Кстати, такие "волшебные палочки" попадаются в компьютерах. Допустим, например (условно) что у вас есть процессор, который быстро считает синус (аппаратная реализация). А вам нужен не синус, а квадратный корень. Ясно, что можно как-то приспособить к делу синус.
no subject
no subject
no subject
Ответ: всего одну!
no subject
Точнее, крутость тут в том, что эта волшебная палочка мало того что всего одна, но ещё и
с одной ручкойот одного аргумента. Я подробнее написал комментарий к зеркалу этого поста в ЖЖ, не буду тут дублировать, ладно?... Верю в отсутствие бога, курю отсутствие табака ...
Bring me a root, NOW!
Re: Bring me a root, NOW!
Корень Бринга-Мандрагоры. Раз уж пошла такая пьянка, то: мне всегда было интересно, насколько академик Макарона (литературный персонаж из плоского мира Пратчетта, том "Невидимые Академики") был списан с академика Малдасены (реальный мир). Помимо сходства чисто по звучанию, есть и ряд других пунктиков в биографиях.. Вот мне интересно, это шутки Пратчетта или уже шутки самого мироздания, а Пратчетт ни при чём?
... И долго стояли в раздумье студьозусы Сэпир и Уорф ...
no subject
… И долго стояли в раздумье детективы Макдональд и Доддс …
… И долго стояли в раздумье маршалы Тёрнер и Хуч …
Re: Bring me a root, NOW!
Раз уж тут языковой тред про корни, мне вот интересно, root of all evil — это же в смысле (∀ evil ∊ ℂ[x]) evil(premature_optimization) = 0, а не evil1/n?
Re: Bring me a root, NOW!
Корни дерева (префиксного, например, или ботанического), кстати, тоже обычно не лежат в ℂ